Page 55 - RMGO 5

a
a
O form˘ saturat˘ a Inegalit˘at , ii AM-GM pentru triunghi 55
Astfel este suficient s˘ ar˘at˘am c˘
a
a
3 √ p √ 1
p
3
2
2x + 3 − 2x 2 + (2 2 − 1)x 2 3 − 2x ≤ 2( 2 + 1), (∀)x ∈ √ , 1 .
2
Consider˘am funct , ia
√
1 3 p 3 2 p
2
g : √ , 1 → R, g(x) = 2x + 3 − 2x 2 + (2 2 − 1)x 3 − 2x .
2
Avem: √ √
0
g (x) 4 − 2 2 − (3 − 2 2)x 2 1
= x − √ , (∀)x ∈ √ , 1 .
6x 3 − 2x 2 2

1
0
Pentru a studia semnul lui g pe intervalul √ , 1 , este de-ajuns s˘ studiem semnul
a
2
√ √ √
" # 2 !
4 − 2 2 − (3 − 2 2)x 2 24 − 16 2
2
2
2
lui x − √ i.e. semnul lui (1 − x ) x − √ ,
3 − 2x 2 19 − 12 2
s √
1 24 − 16 2
pe acelas , i interval. Cum √ < √ < 1 deducem c˘a g este strict
2 19 − 12 2
√ √
s "s
" # #
1 24 − 16 2 24 − 16 2
descresc˘atoare pe √ , √ s , i strict cresc˘atoare pe √ , 1 .
2 19 − 12 2 19 − 12 2
n o
a
As , adar, max g(x) ∈ g √ 1 , g(1) , ceea ce demonstreaz˘ (2).
h i 2
1
x∈ √ ,1
2
ˆ In Cazul 2) avem c = a + b, deci a + b + (a + b) = 3.
2
2
2
√ √
Not˘am a 2 = x, b 2 = y. Atunci
2
2
2
x + y + (x + y) = 6
a
s , i trebuie s˘ ar˘at˘am c˘
a
√ √ √
3
3
3
x + y + (x + y) + (2 2 − 1)xy(x + y) ≤ 4 2( 2 + 1).
2
Fie x + y = 2s s , i xy = p, deci 4s − p = 3 s , i trebuie s˘ ar˘at˘am c˘
a
a
√ √ √
3
2 2s − ( 2 − 1)sp ≤ 2 + 1.
√
" #
3
2
2
Dar 0 ≤ p = 4s − 3 ≤ s , deci s ∈ , 1 s , i avem de ar˘atat c˘
a
2
√ √ √

3
4 − 2 2 s + 3 2 − 1 s ≤ 2 + 1,
ceea ce este evident adev˘arat. Deci am demonstrat (1).