Page 52 - RMGO 5

˘
52 Florin STANESCU s , i Carmen VIS , OIU

Cum rang A −1 X = rang X = 1, atunci polinomul caracteristc corespunz˘ator
matricei A −1 X are forma

n

p A −1 (x) = x − tr A −1 X · x n−1 ,
X
a
a
iar dac˘ λ 1 , λ 2 , . . . , λ n reprezint˘ valorile proprii ale matricei A −1 X, atunci avem

λ 1 = λ 2 = . . . = λ n−1 = 0 s , i λ n = tr A −1 X . Mai departe, aven
2
(det(A + X)) + (det(A − X)) 2
h 2 2 i
2
= (det A) · det(I n + A −1 X) + det(I n − A −1 X)
h 2 2 i
2
= (det A) · 1 + tr A −1 X + 1 − tr A −1 X

1 + tr A −1 X + 1 − tr A −1 X 2
2
≥ (det A) ·
2
2
= 2 · (det A) .

Bibliografie

[1] Gh. Andrei, C. Caragea, Gh. Bordea, Algebr˘a pentru concursurile de admitere s ,i
olimpiade s ,colare, Editura Topaz, Constant , a, 1993.

[2] M. Andronache, R. Gologan, D. Schwarz, D. S , erb˘anescu, Olimipiada de matematic˘a
2006-2010, Editura Sigma, Bucures , ti, 2010.

[3] A. Chites , , G. Dospinescu, A. Ismail, G. Kreindler, C. Popa, C. Raicu, A. Zahariuc,
Probleme alese de matematic˘a pentru preg˘atirea Olimpiadei Nat ,ionale, Editura Gil,
Zal˘au, 2010.
[4] G.H. Golub, C.F. Van Loan, Calculul Matriceal, trad. de A. Cipu s , i M. Cipu, Editura
Theta, Bucures , ti, 2005.
[5] F. St˘anescu, Probleme de calcul matriceal. Olimpiade, Concursuri s ,colare s ,i Bacalau-
reat, Editura Cartea Romˆaneasc˘ Educat , ional, Pites , ti, 2018.
a
[6] F. St˘anescu, Utilitatea unei formule ˆın rezolvarea unor probleme de calcul matriceal,
RMGO, nr. 1/2019, pg. 23-26.

[7] F. St˘anescu, Inegalit˘at , i pentru determinant , ii matricelor de ordinul 2, RMGO, nr.
1/2020, pg. 37-40.