Page 47 - RMGO 5

O dezvoltare a unei probleme din RMM nr. 22/2021 47

a
care rezult˘ folosind Inegalitatea lui Schur s , i Inegalitatea mediilor astfel:
X 4 X X 2 2 X X 2 2
x + xyz x ≥ yz y + z ≥ yz · 2yz = 2 y z .
a
Pasul 2. Ar˘at˘am c˘
X x 2n−1 1
T = 2 n ≥ . (2)
2
(2y − yz + 2z ) 3 n−3 (xy + yz + zx) 2
Folosind Inegalitatea lui H¨older obt , inem:
n n
x 2 P x 2
2
2
X 2y −yz+2z 2 2y −yz+2z 2 (1) 1 1
T = ≥ P ≥ P ≥ P ,
x 3 n−2 x 3 n−2 x 3 n−3 ( yz) 2
2 P

X
a
ultima inegalitate fiind echivalent˘ cu yz ≥ 3 x, care rezult˘ astfel:
a
2
(xy + yz + zx) ≥ 3xyz (x + y + z) = 3 (x + y + z) .
Egalitatea are loc pentru x = y = z = 1.
a
Pasul 3. Ar˘at˘am c˘
xy + yz + zx X x 2n−1 4
P = + ≥ . (3)
2 n
2
3 n−1 (2y − yz + 2z ) 3 n−1
Folosind inegalitatea (2) obt , inem:
xy + yz + zx 1
P = S + T ≥ + ,
3 n−1 3 n−3 (xy + yz + zx) 2
deci notˆand t = xy + yz + zx ≥ 3 (conform Inegalit˘at ,ii mediilor) avem

t 1 1 t 3 1 t 9
P ≥ + = + ≥ +
3 n−1 3 n−3 2 3 n−2 3 t 2 3 n−2 3 t 3
t
r

1 t t t 9 1 4 t t t 9 1 4 4
= + + + ≥ · 4 · · · = · = .
3 n−2 9 9 9 t 3 3 n−2 9 9 9 t 3 3 n−2 3 3 n−1
a
S˘ trecem acum la determinarea minimului expresiei P din enunt , .
Din inegalitatea (3), cu egalitate pentru x = y = z = 1, rezult˘a c˘a minimul
4
expresiei P este egal cu s , i este atins pentru (x, y, z) = (1, 1, 1).
3 n−1
a
Remarc˘am c˘ pentru n = 2 se obt , ine rezolvarea Problemei SP. 326.

Bibliografie

[1] Hoang Le Nhat Tung, Problema SP. 326, Romanian Mathematical Magazine, nr.
22/2021.
[2] Marin Chirciu, Inegalit˘at , i algebrice (2). De la init , iere la performant , ˘a, Editura Paralela
45, Pites , ti, 2021.