Page 46 - RMGO 5

O dezvoltare a unei probleme din RMM nr.

22/2021

Marin CHIRCIU 1

Aceast˘a not˘a pornes , te de la Problema SP. 326 din revista Romanian Ma-
thematical Magazine, propus˘ de Hoang Le Nhat Tung, Vietnam:
a
If x, y, z > 0 such that xyz = 1, find the minimum value of expression

xy + yz + zx X x 3
+ .
2 2
3 (2y − yz + 2z )
2

Vom rezolva urm˘atoarea dezvoltare a acestei probleme.
Pentru x, y, z > 0 astfel ˆıncˆat xyz = 1 s , i n ∈ N, n ≥ 2, s˘a se determine
valoarea minim˘a a expresiei

xy + yz + zx X x 2n−1
P = + 2 n .
2
3 n−1 (2y − yz + 2z )
xy + yz + zx X x 2n−1
Solut ,ie. Not˘am S = s , i T = .
2 n
2
3 n−1 (2y − yz + 2z )
Pasul 1. Ar˘at˘am c˘
a
X x 2
≥ 1. (1)
2
2y − yz + 2z 2
Folosind Inegalitatea lui Bergstr¨om obt , inem:

X x 2 X x 4
=
2
2
2
2
2y − yz + 2z 2 x (2y − yz + 2z )
P 2 2 P P
2 2
4
x x + 2 y z
= ≥ 1,
≥ P 2 2 2 P 2 2 P
x (2y − yz + 2z ) 4 y z − xyz x
a
ultima inegalitate fiind echivalemt˘ cu
X 4 X X 2 2
x + xyz x ≥ 2 y z ,
1
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Zinca Golescu”, Pites , ti, marin.chirciu@yahoo.com
46