Page 48 - RMGO 5

Inegalit˘ati pentru determinantii matricelor -
,
,
cazul general

˘
Florin STANESCU 1 s , i Carmen VIS , OIU 2

ˆ In continuarea articolului din num˘arul trecut vom prezenta o serie de inegalitat , i
privitoare la determinant , ii matricelor, ˆın acest num˘ar fiind vizat cazul general.
Vor fi folosite not , iuni uzuale din calculul matriceal, ca de exemplu polinomul
carecteristic s , i valorile proprii ale unei matrice, rangul unei matrice, etc.

Consider˘am c˘ n este un num˘ar natural, n ≥ 2.
a
Aplicat , ia 1. Fie A ∈ M n (R) o matrice astfel ˆıncˆat pentru orice num˘ar natural
nenul m exist˘ o matrice simetric˘a, B ∈ M n (R), care depinde de m, astfel ˆıncˆat
a
m
2
2021B = A + B . S˘a se arate c˘a |det A| ≤ 1.
(1)
Solut ,ie. Fie λ , k = 1, n valorile proprii ale matricei B, corespunz˘atoare num˘arului
k
(1)
m = 1. Cum B este simetric˘a, atunci λ ∈ R, (∀) k = 1, n. Mai departe, valorile
k
(1) 2
(1)
2
proprii ale matricei 2021B − B sunt de forma φ k = 2021λ − λ , k = 1, n,
k k
iar din egalitatea din enunt , valorile proprii ale matricei A sunt chiar φ k , k = 1, n.
Presupunem prin absurd c˘a exist˘a 1 ≤ k ≤ n astfel ˆıncˆat |φ k | > 1. Cum φ m este
k
m
a
valoare proprie pentru matricea A , (∀) m > 1, atunci exist˘ ϕ m ∈ R astfel ˆıncˆat
2021 2
2
φ m = 2021ϕ m − ϕ , (∀) m > 1. Avem φ m = 2021ϕ m − ϕ 2 ≤ , (∀) m > 1
k m k m
4
∗
a
iar pentru m = 2p, p ∈ N obt , inem c˘ lim φ m = lim φ 2p = ∞, contradict , ie, deci
m→∞ k p→∞ k

n
Q
|φ k | ≤ 1, (∀) k = 1, n ⇒ |det A| = φ k ≤ 1.

k=1
Aplicat , ia 2. Fie A ∈ M n (R) o matrice simetric˘a cu elementele de pe diagonala
a
a
principal˘ egale cu 1 s , i cu suma modulelor elementelor de pe fiecare linie mai mic˘
a
sau egal˘ cu 2. S˘a se arate c˘a det A ≤ 1.
 
x 1
Solut ,ie. Fie λ o valoare proprie pentru A s , i X =  . . .  un vector propriu. Cum
x n
n
P
A este simetric˘a, atunci λ ∈ R. Avem AX = λX, deci a ij x j = λx i , (∀) i = 1, n.
j=1
1
Profesor, S , coala Gimnazial˘a ,,S , erban Cioculescu”, G˘aes , ti, florin.florinstanescu@yahoo.com
2
Profesor, Liceul Tehnologic ,,Iordache Golescu”, G˘aes , ti
48