Page 53 - RMGO 5

O form˘ saturat˘ a Inegalit˘atii AM-GM pentru
a
a
,
triunghi 1

Leonard Mihai GIUGIUC 2

Reamintim cˆateva forme ale Inegalit˘at ,ii AM − GM pentru trei numere reale
pozitive.

Dac˘a a, b, c ≥ 0 atunci au loc:

a + b + c √ a + b + c 3
3
≥ abc; ≥ abc;
3 3
s
a + b + c a + b + c
2 2 2 3 3 3 3
≥ abc; ≥ abc; etc.
3 3

a
Rafinarea (s , i chiar saturarea) inegalit˘t , ilor de mai sus a reprezentat o provocare
a
continu˘ de-a lungul anilor, pentru matematicieni.
ˆ In continuare vom prezenta o form˘ saturat˘ a Inegalit˘t , ii AM − GM pentru
a
a
a
lungimile laturilor unui triunghi.
Teorema 1. Fie a, b s , i c lungimile laturilor BC, CA s , i respectiv AB ale unui
4ABC. Avem
s √
2 2 2 3
a + b + c 2 − 1
3
3
3
i) ≥ abc + · a + b + c − 3abc .
3 2
√
2 − 1
ii) Dac˘a β > , atunci inegalitatea
2
s
2 2 2 3
a + b + c 3 3 3
≥ abc + β a + b + c − 3abc
3
nu este ˆıntotdeauna adev˘arat˘a.
1
Acest articol a fost comunicat la Simpozionul Judet , ean de Matematic˘ ,,Marinescu-Ghemeci
a
Octavian”, Edit , ia I, Potcoava, 8 mai 2021.
2
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Traian”, Drobeta Turnu Severin, leonardgiugiuc@yahoo.com
53