Page 54 - RMGO 5

54 Leonard Mihai GIUGIUC

Demonstrat¸ie. i) Rescriem inegalitatea sub forma
s
√ √ 2 2 2 3
a + b + c
3
3
3
a + b + c + 2 2 − 1 abc ≤ 2 2 + 1 · . (1)
3
a
a
Datorit˘ omogenit˘at , ii, putem presupune WLOG c˘
2
2
2
a + b + c = 3.
Deci (1) devine
√ √
3
3
3
a + b + c + (2 2 − 1)abc ≤ 2( 2 + 1). (2)
Utiliz˘am urm˘atorul rezultat.
Lema 1 (Giugiuc, Tr˘anc˘an˘au, Pirvuceanu [1]). Fie 0 ≤ a ≤ b ≤ c lungimile
2
2
2
laturilor unui triunghi (chiar degenerat) astfel ˆıncˆat a + b + c s , i a + b + c au
valori strict pozitive, fixate. Atunci valoarea maxim˘ a produsului abc se atinge fie
a
pentru 0 < a = b ≤ c ≤ 2a, fie pentru c = a + b.
Revenim la demonstrat , ia teoremei.

a
Vom demonstra c˘ (2) este adev˘arat˘ inclusiv pentru 4ABC degenerat.
a
√
2
2
2
Cum a + b + c = 3, atunci ˆın mod clar 3 ≤ a + b + c ≤ 3.
Prin verificare direct˘a, obt , inem c˘ funct , ia
a
√ p
f : [0, 1] → [ 3, 3], f(x) = 2x + 3 − 2x 2
este o biject , ie strict cresc˘atoare.
Rezolv˘am sistemul
√

 2u + v = 2x + 3 − 2x 2
2
2
2u + v = 3

0 ≤ u ≤ v
√
2
s , i obt , inem u = x, v = 3 − 2x .
S˘a remarc˘am c˘a membrul stˆang al (2) este o funct , ie cresc˘atoare ˆın variabila
2
2
2
abc, ˆın condit , iile ˆın care avem a + b + c s , i a + b + c fixate.
a
a
Deci, conform Lemei 1, este suficient s˘ consider˘am dou˘ cazuri:
1) 0 < a = b ≤ c ≤ 2a s , i 2) c = a + b.
√ 1
ˆ In Cazul 1) avem 0 < x ≤ 3 − 2x ≤ 2x, deci x ∈ √ , 1 .
2
2