Page 51 - RMGO 5

Inegalit˘at , i pentru determinant , ii matricelor - cazul general 51

Aplicat , ia 8. Fie A, B, C ∈ M n (R) trei matrice, astfel ˆıncˆat
(A − B) (B − C) = A − C.

S˘a se arate c˘a are loc inegalitatea

2
2
2

det A + B + C − AB − BC − CA ≥ 0.
Solut ,ie. Din (A − B) (B − C) = A − C obt , inem
(A − B − I n ) (B − C − I n ) = I n ,

de unde rezult˘ c˘ A−B −I n este inversabil˘ s , i A−B −I n = (B − C − I n ) −1 , deci
a
a
a
s , i (B − C − I n ) (A − B − I n ) = I n . Astfel obt , inem c˘a (B − C) (A − B) = A − C,
deci
(A − B) (B − C) = (B − C) (A − B) .
Efectuˆand calculele deducem c˘
a
AB + BC + CA = BA + CB + AC.

a
Dac˘ ε ∈ C\R este o radacin˘ de ordinul trei a unit˘at , ii, atunci avem
a
2
2
A + εB + ε C A + ε B + εC
2
2
2
2
= A + B + C + ε (BA + CB + AC) + ε (AB + BC + CA)
2
2
2
= A + B + C + ε + ε 2 (AB + BC + CA)
2
2
2
= A + B + C − (AB + BC + CA) ,
de unde rezult˘ c˘
a
a
2
2
2
det A + B + C − AB − BC − CA
2
2

= det A + εB + ε C · det A + ε B + εC

2

2
= det A + εB + ε C · det A + εB + ε C
2 2
= det A + εB + ε C ≥ 0.

Aplicat , ia 9. Se consider˘a matricele A, X ∈ M n (R) astfel ˆıncˆat rang X = 1. S˘a
se arate c˘a
2
2
2
(det(A + X)) + (det(A − X)) ≥ 2 · (det A) .
a
Solut ,ie. Inegalitatea este evident˘ pentru det A = 0.
Fie acum det A 6= 0. Putem scrie
det(A + X) = det A · det(I n + A −1 X) s , i det(A − X) = det A · det(I n − A −1 X).