Page 42 - RMGO 5

42 Mih´aly BENCZE

2
2
X s − a s − 2r − 8Rr
8. = ;
(s − b)(s − c) sr 2
2
2
(s − a)(s − b) r[s + (4R + r) ]
X
9. = ;
c 4sR
X a 2(4R + r)
10. = ;
(s − b)(s − c) sr
X a 2 4(R + r)
11. = ;
(s − b)(s − c) R
X a 2 4s(R − r)
12. = ;
s − a r
2
X (s − a) 2 s − 12Rr
13. = ;
(s − b)(s − c) r 2
2
2
X ab s + r − 8Rr
14. = ;
(s − a)(s − b) r 2
2
2
X s − a s + r − 8Rr
15. = ;
a 4Rr
X (s − a)(s − b) 2R − r
16. = .
ab 2R
Proof. We proof only the identity 5), the another identities having similar proofs.
a a(s − b)(s − c) 1
X X X
= = a(s − b)(s − c)
s − a (s − a)(s − b)(s − c) sr 2
1 X 1 X 3 2 2
= a(a − b + c)(a + b − c) = a − (b + c )a + 2abc
4sr 2 4sr 2
1 X h X 3 X X 2 i
= 2 a + 6abc − a a
4sr 2
2(2R − r)
1 2 2 2 2
= 4s(s − 3r − 6Rr) + 24sRr − 4s(s − r − 4Rr) = .
4sr 2 r

Corollary 1. In any triangle ABC hold the inequalities:

9 X 1 9R
1. ≤ ≤ ,
2s b + c − a 4sr
that is a new refinement of Euler’s R ≥ 2r Inequality;

X 1 1
2. ≥ ;
(b + c − a)(a + c − b) R 2
2
2
8R − 5r 2 X 1 16R − 24Rr + 11r 2
3. ≤ ≤ ;
2 2
2 2
4s r (b + c − a) 2 4s r