Page 53 - RMGO 3

Prezentarea Concursului MGO, Edit , ia a VIII-a 53

(c) Determinat , i a ∈ R pentru care funct , ia f este surjectiv˘a.
ˆ
4. Doi colegi de banc˘a, Dorel s , i Gigel, scriu ˆın fiecare zi cˆate un num˘ar. In
ˆ
prima zi Dorel a scris num˘arul 2, iar Ionel num˘arul 3. Incepˆand cu ziua a
doua, fiecare scrie suma dintre triplul num˘arului s˘au din ziua precedent˘a s , i
num˘arul celuilalt din ziua precedent˘a.

(a) Comparat , i numerele scrise de cei doi colegi ˆın cea de-a s , asea zi.
ˆ
(b) In a cˆata zi numerele scrise de cei doi colegi sunt ambele mai mari decˆat
zece milioane?
Stelian-Corneliu Andronescu, Pites , ti, Costel B˘alc˘au, Pites , ti s , i
Leonard Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

Clasa a XII-a

3 4
b b
1. Fie matricea A = ∈ M 2 (Z 5 ).
0 2
b b
(a) Calculat , i A 2019 .
3
(b) Rezolvat , i ˆın mult , imea M 2 (Z 5 ) ecuat , ia X = A.
2
3
3
2. Se consider˘a polinoamele f = X + X + 1 s , i g = X + X + 1.
(a) Ar˘atat , i c˘a polinoamele f s , i g au fiecare exact cˆate o r˘ad˘acin˘a real˘a.
(b) Demonstrat , i c˘a polinoamele f s , i g nu au r˘ad˘acini comune.
(c) Determinat , i num˘arul de valori reale pe care le poate lua expresia
E = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 , unde x 1 , x 2 , x 3 ∈ C sunt r˘ad˘acinile lui f iar
y 1 , y 2 , y 3 ∈ C sunt r˘ad˘acinile lui g.


 ln(1 + x)
√
3. Fie funct , ia f : [0, ∞) → R, f(x) = x , dac˘a x > 0 .
0, dac˘a x = 0

(a) Demonstrat , i c˘a funct , ia f admite primitive.
(b) Determinat , i primitiva F a funct , iei f pentru care axa Ox este tangent˘a
ˆın origine la graficul funct , iei F.
4. Doi prieteni, Dorel s , i Gigel, au fiecare cˆate o mas , inut , ˘a teleghidat˘a. Mas , inut , a
lui Dorel este programat˘a s˘a se deplasezeˆın linie dreapt˘a cu viteza instantanee
2
v 1 (x) = sin (πx) m/s, iar mas , inut , a lui Gigel cu viteza instantanee v 2 (x) =
2
sin (2πx) m/s.
(a) Ce distant , ˘a a parcurs fiecare mas , inut , ˘a dup˘a primele 20 de secunde?
(b) Cine cˆas , tig˘a o curs˘a de 10,8 metri?