Page 51 - RMGO 3

Prezentarea Concursului MGO, Edit , ia a VIII-a 51

n
n
2
2. Fie x 1 s , i x 2 r˘ad˘acinile ecuat , iei x − x − 3 = 0. Not˘am S n = x + x , pentru
2
1
∗
orice n ∈ N .
(a) Ar˘atat , i c˘a S 3 = S 2 + 3S 1 .
∗
(b) Demonstrat , i c˘a exist˘a n ∈ N astfel ˆıncˆat S n ≥ 2019.
∗
(c) Demonstrat , i c˘a nu exist˘a n ∈ N astfel ˆıncˆat S n = 2019.
◦
◦
◦
◦
3. Calculat , i suma S = [sin 2019 ] + [cos 2019 ] + [tg 2019 ] + [ctg 2019 ], unde
[x] reprezint˘a partea ˆıntreag˘a a num˘arului real x.
4. Dorel are 110 centimetri de sˆarm˘a din care dores , te s˘a construiasc˘a un triunghi
echilateral s , i un p˘atrat astfel ˆıncˆat aria total˘a a acestora s˘a fie cˆat mai mic˘a.
Cele dou˘a figuri nu au port , iuni comune, iar sˆarma trebuie s˘a fie utilizat˘a ˆın
totalitate.

(a) Comparat , i ariile totale obt , inute ˆın urm˘atoarele dou˘a variante particu-
lare:

V1) latura triunghiului este de 18 cm;
V2) latura triunghiului este de 22 cm.
(b) Determinat , i lungimile laturilor triunghiului s , i p˘atratului pentru care
aria total˘a este minim˘a.

(c) Rezolvat , i aceeas , i cerint , ˘a ca la punctul anterior, ˆın ipoteza suplimentar˘a
c˘a ambele figuri au laturile exprimate prin numere ˆıntregi de centimetri.

Stelian-Corneliu Andronescu, Pites , ti, Costel B˘alc˘au, Pites , ti s , i
Leonard Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

Clasa a X-a

√ √
ˆ
1. In mult , imea numerelor reale se consider˘a ecuat , ia 3 x + 30 + 3 31 − x = m,
unde m este un parametru real.

(a) Rezolvat , i ecuat , ia pentru m = 1.
(b) Determinat , i m ∈ R pentru care ecuat , ia are solut , ie unic˘a.

2. Pentru orice n ∈ N, n ≥ 2, definim num˘arul
n
2
3
a n = log 3 3 · log 4 4 · . . . · log n+1(n + 1) .
n
3
2
(a) Ar˘atat , i c˘a a 3 = 1.
(b) Ar˘atat , i c˘a num˘arul a 2019 este irat , ional s , i calculat , i primele dou˘a cifre
dup˘a virgul˘a din scrierea sa sub form˘a de fract , ie zecimal˘a infinit˘a.
2
3. (a) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor complexe ecuat , ia (z + i) = z − i.