Page 52 - RMGO 3

52 Costel ANGHEL

(b) Determinat , i cˆate solut , ii complexe are ecuat , ia (z + i) 2019 = z − i.
4. Profesorul de sport al unei clase dores , te s˘a organizeze o sesiune de s , ah astfel
ˆıncˆat fiecare dintre cei n elevi ai clasei s˘a joace exact cˆate k partide, unde n
ˆ
s , i k sunt numere naturale nenule, n > k. Intre oricare doi elevi nu se poate
disputa mai mult de o partid˘a.

(a) Este posibil˘a organizarea unei astfel de sesiuni pentru n = 21 s , i k = 2?
(b) Dar pentru n = 21 s , i k = 3?

(c) Pentru n fixat, determinat , i valorile lui k pentru care se poate organiza
o astfel de sesiune.

Stelian-Corneliu Andronescu, Pites , ti, Costel B˘alc˘au, Pites , ti s , i
Leonard Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

Clasa a XI-a


 
a b c
 a b c a b c 
1. Fie mult , imea M =  d e f  ∈ M 3 (R ) = = s , i = = .
∗
d e f g h
g h i
 i 
 
a b c
2
(a) Ar˘atat , i c˘a dac˘a A ∈ M, A =  d e f  , atunci A = (a + e + i)A.
g h i
 
9 9 9
3
(b) Rezolvat , i ˆın mult , imea M ecuat , ia X =  9 9 9  .
9 9 9
2. Fie ABC un triunghi nedreptunghic, Q centrul cercului circumscris acestui
triunghi s , i A 1 , B 1 s , i C 1 centrele de greutate ale triunghiurilor QBC, QAC,
respectiv QAB.

(a) S , tiind c˘a, ˆın sistemul cartezian de coordonate xOy, avem A(−1, 2),
B(0, −1) s , i C(3, 2), calculat , i coordonatele punctului Q s , i ar˘atat , i c˘a
punctele A 1 , B 1 , C 1 nu sunt coliniare.
(b) Demonstrat , i c˘a punctul Q este centrul de greutate al triunghiului
A 1 B 1 C 1 dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul ABC este echilateral.
√

2019 ax, dac˘a x ≤ 1


3. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = x 2019 − 1 , unde a ∈ R.
 , dac˘a x > 1

x − 1
(a) Determinat , i a ∈ R pentru care funct , ia f este continu˘a.
(b) Determinat , i a ∈ R pentru care funct , ia f este injectiv˘a.