Page 50 - RMGO 3

50 Costel ANGHEL
√
(b) Dac˘a DG k BE s , i AB = 3 + 5 cm, calculat , i lungimea segmentului
[BC].
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

n(n + 1)
4. Fie numerele reale a 1 , a 2 , . . . , a n avˆand suma egal˘a cu . Dac˘a
2
p p p
2
2
2
2
2
2
(a 1 + 1) + (a 2 + 2) + (a 2 + 2) + (a 3 + 3) + . . . + (a n + n) + (a 1 + 1) ≤

√ 3 n + 1
n(n + 1) 2, s˘a se arate c˘a a 1 − 1 + 2 a 2 − + . . . + n a n − = 0.
2 2
Sorin Ulmeanu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti, Problema MGO 55
Clasa a VIII-a
2
2
2
1. Stabilit , i dac˘a num˘arul A = (10301 − 1 ) · (10300 − 2 ) · (10299 − 3 ) · . . . ·
2
(1 − 10301 ) este pozitiv, negativ sau nul.
Florea Badea, Scornices , ti s , i Costel Anghel, Slatina
1 1 1
2. Fie n ∈ N, n ≥ 2 s , i x 1 , x 2 , . . . , x n > 0 astfel ˆıncˆat + + . . . + = n.
x 1 x 2 x n
2
2
2
Ar˘at˘at , i c˘a x x 2 + x x 3 + . . . + x 2 n−1 n + x x 1 ≥ 2(x 1 + x 2 + . . . + x n ) − n.
x
n
2
1
Marin Ionescu, Pites , ti, Problema MGO 59
3. Dou˘a piramide regulate au aceeas , i baz˘a ABCD, vˆarfurile V s , i S, cu V 6= S,
toate muchiile laterale sunt congruente cu muchia bazei s , i AB = 12 cm.
(a) Demonstrat , i c˘a (V AD) k (SBC).
(b) Calculat , i distant , a dintre planele de la punctul a).
(c) Calculat , i distant , a dintre dreptele CD s , i SA.
Florea Badea, Scornices , ti s , i Costel Anghel, Slatina

4. Se consider˘a s , irul 1, 8, 15, 22, . . ..

(a) Calculat , i suma a cinci termeni ai acestui s , ir, cei mai mici, care sunt
p˘atrate perfecte.
(b) Calculat , i suma a 2n + 1 termeni ai s , irului, p˘atrate perfecte, cei mai
mici.
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava

Clasa a IX-a

1. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , iile:
(a) |x − 1| + |x − 2| = x;
(b) |x − 1| + |x − 2| + . . . + |x − 2019| = x.