Page 49 - RMGO 3

Prezentarea Concursului MGO, Edit , ia a VIII-a 49

1 2 3 2046
(b) 1 + + + + . . . + < 11.
2 2 3 2 4 2 2047 2
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

3. Fie M mult , imea numerelor naturale formate din 2019 cifre, dintre care o
singur˘a cifr˘a este 6 s , i celelalte 2018 cifre sunt toate egale cu 1.

(a) Ar˘atat , i c˘a niciun num˘ar din mult , imea M nu este divizibil cu 41.
(b) Cˆate numere din mult , imea M sunt divizibile cu 7?
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

ˆ
4. Fie ABC un triunghi echilateral. In exteriorul triunghiului se construiesc
dou˘a semicercuri avˆand diametrele [AB], respectiv [AC]. Pe semicercul de
diametru [AB] se ia un punct D, iar pe semicercul de diametru [AC] se ia
un punct E.

(a) Dac˘a punctele D, A, E sunt coliniare s , i dreapta DE este perpendicular˘a
pe ˆın˘alt , imea triunghiului ABC dus˘a din A, ar˘atat , i c˘a DE = BC.

(b) Stabilit , i pozit , ia punctelor D s , i E pentru care lungimea segmentului
[DE] este maxim˘a s , i calculat , i DE, dac˘a AB = 10 cm.
ˆ
(c) In cazul ˆın care lungimea segmentului [DE] este maxim˘a, calculat , i
m˘asura unghiului ^DAC.

Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

Clasa a VII-a

3
1. Fie n ∈ N, n ≥ 2 astfel ˆıncˆat fract , ia este reductibil˘a. Ar˘atat , i c˘a
3
n − 1
3
n + 8
∈ N.
9
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti
2
2
2. (a) Rezolvat , i ˆın N × N ecuat , ia x − y = 4039.
(b) Demonstrat , i c˘a oricum am alege 2019 p˘atrate perfecte, exist˘a dou˘a a
c˘aror diferent , ˘a este divizibil˘a cu 4039.

Stelian-Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

3. Fie segmentul [AB] s , i punctul C ∈ (AB) astfel ˆıncˆat AC > BC. De
aceeas , i parte a dreptei AB se construiesc p˘atratele ACDE s , i BCFG. Fie
AG ∩ CD = {M}.
(a) Ar˘atat , i c˘a punctele E, M, B sunt coliniare.