Page 44 - RMGO 3

44 Florea BADEA

Clasa a XI-a

1. Pentru orice matrice A, B ∈ M n (R) (n ∈ {2, 3, 4}), se consider˘a mult , imea
S(A, B) = {X ∈ M n (R) | AX = B, XB = A} .
2
2
a) Demonstrat , i c˘a dac˘a S(A, B) 6= ∅, atunci A = B ;
b) Ar˘atat , i c˘a reciproca afirmat , iei de la punctul a) nu este ˆıntotdeauna
adev˘arat˘a;
c) Demonstrat , i c˘a dac˘a det(A) 6= 0, atunci reciproca afirmat , iei de la
punctul a) este adev˘arat˘a.

2
2. Se consider˘a funct , ia f : N → N, f(x) = 2x + 3x + 4 s , i trei puncte distincte
A, B s , i C situate pe graficul funct , iei f.

a) Ar˘atat , i c˘a punctele A, B s , i C nu sunt coliniare;
b) Demonstrat , i c˘a aria triunghiului ABC nu poate fi egal˘a cu 2018.

3. a) Determinat , i asimptotele graficului funct , iei
ln(x + 1)
f : (−1, +∞) \ {0} → R, f(x) = ;
x

b) Comparat , i numerele 2018 2018 s , i 2019 2017 .

4. Ionel are curtea ˆın forma unui trapez dreptunghic ABCD, cu ABkCD,
BC⊥AB, AB = 70 m, BC = 90 m, CD = 50 m. El dores , te s˘a ˆımpart˘a
aceast˘a curte ˆın trei triunghiuri prin intermediul unui gard ce unes , te fiecare
dintre punctele A s , i D cu un punct M situat pe latura BC. Calculat , i
lungimea minim˘a a unui astfel de gard.
Stelian-Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

Clasa a XII-a

a 5b
2
2
1. Se consider˘a mult , imea G = a, b ∈ Z, a − 10b = 1 .

2b a
a) Demonstrat , i c˘a (G, ·) este grup abelian;
b) Ar˘atat , i c˘a mult , imea G este infinit˘a.
3
2. Fie polinomul f = X + X − 1 s , i fie E = x 1 + x 2 + x 3 , unde x 1 , x 2 , x 3 ∈ C
x 2 x 3 x 1
sunt r˘ad˘acinile lui f.
a) Ar˘atat , i c˘a exact una dintre r˘ad˘acinile x 1 , x 2 , x 3 este real˘a;
b) Calculat , i E + E, unde E reprezint˘a conjugatul num˘arului complex E;