Page 41 - RMGO 3

Prezentarea Concursului MGO, Edit , ia a VII-a 41

Clasa a VII-a

√
1. S˘a se arate c˘a num˘arul n 2019 − n 2017 + 2018 nu este rat , ional, unde n ∈ N.
Florea Badea, Scornices , ti

2
2
2. Fie numerele naturale nenule a s , i b. Dac˘a x = a + 8b s , i y = b − 8a, se cere:
∗
∗
a) Determinat , i dou˘a perechi (a, b) ∈ N × N astfel ˆıncˆat x s , i y s˘a fie
p˘atrate perfecte.
∗
∗
b) Demonstrat , i c˘a exist˘a o infinitate de perechi (a, b) ∈ N × N pentru
care x s , i y s˘a fie simultan p˘atrate perfecte.
Florea Badea, Scornices , ti

◦
3. a) Fie ABC un triunghi dreptunghic isoscel cu m (^A) = 90 . O dreapt˘a
arbitrar˘a intersecteaz˘a interioarele catetelor (AB) s , i (AC) ˆın M, res-
pectiv N s , i ˆın˘alt , imea [AD], D ∈ BC ˆın punctul P. S˘a se arate c˘a:
√
1 1 2
+ = .
AM AN AP

b) Fie p˘atratul ABCD. Pe laturile (AB) , (BC) , (CD) , (DA) se iau punc-
tele E, F, G, respectiv H. Not˘am AC ∩ EH = {M} , EF ∩ BD =
{N} , FG ∩ AC = {P}, GH ∩ BD = {Q}. S˘a se arate c˘a:
√
1 1 1 1 8 2
+ + + ≥ .
AM BN CP DQ AB
Costel Anghel, Bircii

4. Fie M un punct ˆın interiorul triunghiului echilateral ABC. Dac˘a P, Q s , i R
sunt picioarele perpendicularelor duse din M pe [AB] , [BC] respectiv [AC],
ar˘atat , i c˘a:
2
2
2
2
2
2
a) AP + BQ + CR = BP + CQ + AR .
b) AP · BQ + AP · CR + BQ · CR = BP · CQ + BP · AR + CQ · AR.
***, Problema MGO 15
Clasa a VIII-a
√ √
p p 2
1. Comparat , i numerele a = 6 + 4 2 − 5 + 2 6 s , i b = p √ +
8 + 2 15
1
√ .
p
5 + 2 6
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava