Page 36 - RMGO 3

36 Victor ALEXANDRU s , i Stelian Corneliu ANDRONESCU

Fie
α = lim α n ∈ O p .
n
Atunci
v p (f(α)) = ∞, adic˘a f(α) = 0, iar α ≡ α 0 ( mod p s+1 ).
Mai mult, demonstr˘am c˘a α este unic cu propriet˘at , ile din enunt , , prin reducere
la absurd. Presupunem c˘a f(X) ar mai avea o r˘ad˘acin˘a β astfel ˆıncˆat β ≡ α 0
0
2
(mod p s+1 ). Deoarece f(β) = f(α) + f (α)(β − α) + (β − α) G(β) rezult˘a c˘a
0
0
2
f (α)(α − β) = (α − β) G(β), de unde v p (f (α)) ≥ v p (α − β) ≥ s + 1. Dar,
0
0
0
0
0

pe de alt˘a parte, avem f (α) = f (α 0 ) + f (α) − f (α 0 ) , v p (f (α 0 )) = s s , i
0
0
0
v p (f (α) − f (α 0 )) ≥ v p (α − α 0 ) ≥ s + 1, deci v p (f (α)) = s, contradict , ie.
Observat ,ii. 1) Lema lui Hensel, considerat˘a ˆın ansamblul celor trei forme, stabiles , te
condit , ii suficiente (criterii) de reductibilitate pentru polinoamele din O p [X].
2) Demonstrat , ia formei a treia a Lemei lui Hensel este asem˘an˘atoare metodei
tangentei (sau metodei lui Newton) de aproximare a r˘ad˘acinilor polinoamelor din
R[X].
3) O consecint , ˘a a Lemei lui Hensel este urm˘atoarea: Fie F(X) ∈ Z[X] un
0
polinom cu r˘ad˘acini distincte (deci relativ prim cu F (X) ˆın Q[X]). Exist˘a un
exponent n F astfel ˆıncˆat dac˘a congruent , a F(X) ≡ 0 (mod p n F ) are solut , ie ˆın Z
n
atunci pentru orice n ≥ n F congruent , a F(X) ≡ 0 (mod p ) are solut , ie iar s , irul
solut , iilor congruent , elor, (x n ) n , converge ˆın O p la o r˘ad˘acin˘a x a polinomului F(X).
Propunem cititorului spre demonstrat , ie aceast˘a consecint , ˘a.
0
Indicat ,ie: Deoarece F(X) s , i F (X) sunt relativ prime ˆın Q[X] rezult˘a (din
algoritmul lui Euclid) c˘a exist˘a A(X) s , i B(X) ∈ Z[X] astfel ˆıncˆat F(X)A(X) +
0
∗
F (X)B(X) = C ∈ Z .
Aplicat , ii

1. Descompunerea polinomului f = X p−1 − 1 ˆın factori liniari ˆın O p [X].

Demonstrat¸ie. Fie f(X) = X p−1 − 1 ∈ Z p [X]. S , tim c˘a
∗
α p−1 = 1 ∀ α ∈ Z = {1, 2, . . . , p − 1},
p
deci f are p − 1 r˘ad˘acini distincte ˆın Z p . De fapt pentru orice a ∈ Z \ pZ, avem

f(a) = a p−1 − 1 ≡ 0 ( mod p)
dar
0
f (a) = (p − 1)a p−2 6≡ 0 ( mod p)
0
adic˘a v p (f(a)) = 1 s , i v p (f (a)) = 0.