Page 31 - RMGO 3

Lema lui Hensel. Aplicatii
,

1
Victor ALEXANDRU s , i Stelian Corneliu ANDRONESCU 2

ˆ
Fie p un num˘ar natural prim. Intr-o not˘a precedent˘a [3] a fost expus˘a con-
struct , ia inelului ˆıntregilor p-adici notat cu O p . Are loc reprezentarea p-adic˘a (sau
reprezentarea canonic˘a):
2
O p = a 0 + a 1 p + a 2 p + . . . 0 ≤ a n ≤ p − 1, a n ∈ N, ∀n ∈ N .

ˆ In particular, dac˘a ˆıntregul p-adic ˆα ∈ N, atunci reprezentarea sa p-adic˘a este chiar
reprezentarea sa ˆın baza p. Grupul unit˘at , ilor (elementelor inversabile) U(O p ) din
O p este format din acei intregi p-adici
n
ˆ α = a 0 + a 1 p + . . . + a n p + . . .

pentru care (a 0 , p) = 1 (adic˘a 1 ≤ a 0 ≤ p − 1). Acest fapt rezult˘a astfel: dac˘a
ˆ
n
(a 0 , p) = 1 atunci se poate determina β = b 0 + b 1 p + . . . + b n p + . . . unic, astfel
n
n
ˆıncˆat (b 0 + b 1 p + . . . + b n p ) (a 0 + a 1 p + . . . + a n p ) ≡ 1 (mod p n+1 ), pentru orice
n ≥ 0 (coeficient , ii b i se determin˘a prin induct , ie dup˘a i ≥ 0).
Reamintim c˘a are loc reprezentarea p-adic˘a
n
−1 = (p − 1) + (p − 1)p + . . . + (p − 1)p + . . . ,

2
n
iar inversul elementului 1 − p este 1 + p + p + . . . + p + . . . ∈ O p .
m
De asemenea, orice x 6= 0 din O p se reprezint˘a ˆın mod unic sub forma x = p ·ε
cu ε ∈ U(O p ) s , i m ∈ N. S-a definit v p (x) = m (valuarea sau exponentul p-adic al
def
ˆ
lui x, v(0) = ∞). In plus, x divide y ˆın O p dac˘a s , i numai dac˘a v p (x) ≤ v p (y).
Dac˘a x ∈ Z obt , inem exponentul p-adic uzual din Z.
n
Fie x, y ∈ O p s , i n ∈ N. Not˘am x ≡ 0 (mod p ) dac˘a s , i numai dac˘a v p (x) ≥ n;
n
n
not˘am x ≡ y (mod p ) dac˘a s , i numai dac˘a x − y ≡ 0 (mod p ).
Fiind domeniu de integritate, inelul O p are un corp de fract , ii, notat Q p , denumit
corpul numerelor p-adice. Elementele sale nenule se reprezint˘a ˆın mod unic sub
n
forma x = p · ε cu ε ∈ U(O p ) s , i n ∈ Z. Desigur, v p (x) = n.
1
Prof. univ. dr., Universitatea din Bucures , ti, vralexandru@yahoo.com
2
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, corneliuandronescu@yahoo.com
31