Page 33 - RMGO 3

Lema lui Hensel. Aplicat , ii 33

n
2
Teorema 1 (Lema lui Hensel). Fie F(X) = a 0 + a 1 X + a 2 X + . . . + a n X un
polinom cu coeficient ,i ˆın O p . Presupunem c˘a exist˘a ˆıntregul p-adic α 1 ∈ O p astfel
ˆıncˆat
F(α 1 ) ≡ 0 (mod p)
s , i
0
F (α 1 ) 6≡ 0 (mod p)
0
unde F (X) este derivata (formal˘a) a lui F(X). Atunci exist˘a un ˆıntreg p-adic
α ∈ O p astfel ˆıncˆat α ≡ α 1 (mod p) s , i F(α) = 0.

Demonstrat¸ie. Vom ar˘ata c˘a r˘ad˘acina α exist˘a construind un s , ir Cauchy de ˆıntregi
care converge la ea (metoda lui Newton). Vom construi un s , ir de ˆıntregi p-adici
α 1 , α 2 , . . . , α n , . . . astfel ˆıncˆat, pentru orice n ≥ 1 avem

n
i) F(α n ) ≡ 0 ( mod p );
n
ii) α n ≡ α n+1 ( mod p ).
Acest s , ir este un s , ir Cauchy, s , i limita sa satisface F(α) = 0 (prin continuitate) s , i
α ≡ α 1 (mod p) (prin construct , ie). Deci, odat˘a ce avem s , irul α n , teorema este
demonstrat˘a.
Principala presupunere a teoremei este c˘a α 1 exist˘a. Pentru a-l g˘asi pe α 2 , ˆıl
c˘aut˘am de forma
α 2 = α 1 + b 1 p
pentru un b 1 ∈ O p . Introducˆand aceast˘a expresie ˆın polinomul F(X) s , i dezvoltˆand,
obt , inem

F(α 2 ) = F(α 1 + b 1 p)
0
n
= F(α 1 ) + F (α 1 )b 1 p + termeni ˆın p , cu n ≥ 2
0
2
≡ F(α 1 ) + F (α 1 )b 1 p ( mod p ).
Pentru al g˘asi pe α 2 trebuie s˘a ar˘at˘am c˘a putem g˘asi b 1 astfel ˆıncˆat
0
2
F(α 1 ) + F (α 1 )b 1 p ≡ 0 ( mod p ).
S , tim c˘a F(α 1 ) ≡ 0 (mod p), deci F(α 1 ) = px pentru un x. Ecuat , ia devine

0
2
px + F (α 1 )b 1 p ≡ 0 ( mod p ),
care devine (dup˘a ce am ˆımp˘art , it prin p)
0
x + F (α 1 )b 1 ≡ 0 (mod p).
0
Observ˘am c˘a F (α 1 ) nu este divizibil cu p, deci este inversabil ˆın O p s , i putem lua
0
b 1 ≡ −x(F (α 1 )) −1 (mod p).