Page 35 - RMGO 3

Lema lui Hensel. Aplicat , ii 35

ii) g(X) ≡ g 1 (X) (mod p) s , i h(X) ≡ h 1 (X) (mod p) s , i
ii) f(X) = g(X)h(X).

Teorema 3 (Lema lui Hensel, a treia form˘a). Fie f(X) ∈ O p [X]. Dac˘a
exist˘a α 0 ∈ O p s , i s ≥ 0 astfel ˆıncˆat

f(α 0 ) ≡ 0 ( mod p 2s+1 )
0
s
f (α 0 ) ≡ 0 ( mod p )
0
f (α 0 ) 6≡ 0 ( mod p s+1 )
atunci ∃ α ∈ O p astfel ˆıncˆat f(α) = 0 s , i α ≡ α 0 (mod p s+1 ).

Demonstrat¸ie. Construim prin induct , ie s , irul α 0 , α 1 , . . . , α n , . . . definind

f(α n )
α n+1 = α n − , ∀n ≥ 0.
0
f (α n )
Ar˘at˘am c˘a ∀n ≥ 0 avem

α n ∈ O p , f(α n ) ≡ 0 ( mod p 2s+n+1 )

s , i
α n ≡ α n−1 ( mod p s+n )
pentru n ≥ 1 (adev˘arat pentru n = 0).

i) S˘a presupunem n ≥ 0 s , i afirmat , iile verificate pentru respectivul num˘ar.
Atunci
0
0
α n ≡ α n−1 ( mod p s+n ) ⇒ f (α n ) ≡ f (α 0 ) ( mod p s+1 ),
0
0
s
s
adic˘a f (α n ) = p · ε n cu ε n unitate ˆın O p (deoarece f (α 0 ) = p · ε). Atunci
conform relat , iei de recurent , ˘a ce defines , te s , irul, se obt , ine α n+1 ∈ O p s , i
α n+1 ≡ α n ( mod p s+n+1 ).
Din dezvoltarea polinomului f(X) dup˘a puterile lui X − α n rezult˘a, grupˆand tot , i
termenii de grad cel put , in doi, identitatea

2
0
f(X) = f(α n ) + f (α n )(X − α n ) + (X − α n ) · G(X),
ˆ
cu G(X) ∈ O p [X]. Inlocuind X = α n+1 s , i avˆand ˆın vedere relat , ia de recurent , ˘a, se
obt , ine
2
f(α n )
f(α n+1 ) = · G(α n+1 ),
0
f (α n )
iar de aici f(α n+1 ) ≡ 0 (mod p 2s+2n+2 ). Prin urmare
v p (α n+1 − α n ) → ∞ s , i v p (f(α n )) → ∞ cˆand n → ∞.