Page 34 - RMGO 3

34 Victor ALEXANDRU s , i Stelian Corneliu ANDRONESCU

Pentru aceast˘a alegere a lui b 1 fix˘am α 2 = α 1 + b 1 p care are propriet˘at , ile cerute.
Se procedeaz˘a ˆın continuare prin induct , ie dup˘a n ≥ 2. Fiind dat α n c˘aut˘am
0
n
n
n
α n+1 = α n + b n p . Se obt , ine F(α n+1 ) = F(α n + b n p ) = F(α n ) + F (α n )b n p +
0
n
termenii divizibili cu p n+1 ≡ F(α n ) + F (α n )b n p (mod p n+1 ).
n
Deoarece F(α n ) = p · x n cu x n ∈ O p congruent , a F(α n+1 ) ≡ 0 (mod p n+1 )
0
este echivalent˘a cu x n + F (α n )b n ≡ 0 (mod p) care are solut , ie unic˘a modulo p
0
0
deoarece F (α n ) ≡ F (α 1 ) 6≡ 0 (mod p).
Deoarece v p (α n+1 − α n ) ≥ n rezult˘a c˘a exist˘a α = lim α n ∈ O p s , i F(α) ≡
n
n
0 (mod p ), ∀n ≥ 1. Rezult˘a c˘a v p (F(α)) = ∞ adic˘a F(α) = 0.
Se poate ar˘ata c˘a α este unic cu propriet˘at , ile din enunt , .
ˆ In continuare vom considera o form˘a mai general˘a a Lemei lui Hensel. Vom
porni de la interpretarea primei forme a Lemei lui Hensel ˆın felul urm˘ator: dac˘a un
polinom este reductibil modulo p s , i unul din factori este de forma (X − α) astfel
ˆıncˆat
f(X) ≡ (X − α)g(X) ( mod p),
atunci exist˘a o descompunere similar˘a ˆın O p [X]. Generalizare evident˘a: s˘a con-
sider˘am descompuneri arbitrare. Condit , ia asupra derivatei spune, ˆın esent , ˘a, c˘a
r˘ad˘acina α nu este o r˘ad˘acin˘a dubl˘a, deci factorul al doilea, g(X), nu se divide
prin X − a. Pentru descompuneri generale, presupunerea trebuie s˘a fie c˘a factorii
sunt relativ primi (ca polinoame) modulo p. Mai precis:

Definit , ia 1. Fie g(X) s , i h(X) dou˘a polinoame ˆın O p [X]. Spunem c˘a g(X) s , i
h(X) sunt relativ prime modulo p dac˘a exist˘a polinoamele a(X), b(X) ∈ O p [X]
astfel ˆıncˆat
a(X)g(X) + b(X)h(X) ≡ 1 ( mod p)
unde congruent ,a este ˆınt ,eleas˘a coeficient cu coeficient, i.e. dou˘a polinoame sunt
congruente modulo p dac˘a fiecare coeficient al unuia este congruent modulo p cu
coeficientul corespunz˘ator al celuilalt.
Teorema 2 (Lema lui Hensel, forma a doua). Fie f(X) ∈ O p [X] un polinom
s , i presupunem c˘a exist˘a polinoamele g 1 (X) s , i h 1 (X) din O p [X] astfel ˆıncˆat

i) g 1 (X) este monic;

ii) g 1 (X) s , i h 1 (X) sunt relativ prime modulo p s , i
ii) f(X) ≡ g 1 (X)h 1 (X) (mod p) (ˆınt ,eles coeficient cu coeficient).

Atunci exist˘a polinoamele g(X),h(X) ∈ O p [X] astfel ˆıncˆat

i) g(X) este monic;