Page 32 - RMGO 3

32 Victor ALEXANDRU s , i Stelian Corneliu ANDRONESCU

Reprezentarea p-adic˘a a numerelor rat , ionale se obt , ine ˆın felul urm˘ator: Fie x
un num˘ar rat , ional al c˘arui numitor nu se divide cu p. Putem reprezenta x = c − a
b
cu c ∈ Z, a, b ∈ N, 0 ≤ a < b s , i (p, b) = 1. Din faptul c˘a (p, b) = 1 rezult˘a c˘a exist˘a
ˆ
∗
t
t ∈ N astfel ˆıncˆat p − 1 = bu, u ∈ N. Intr-adev˘ar, exist˘a i, j ∈ N, i < j astfel
i
j
ˆıncˆat p ≡ p (mod b), deci p j−i ≡ 0 (mod b). Rezult˘a c˘a
a au
2t
t
− = = au(1 + p + p + . . .),
b 1 − p t
t
iar 0 ≤ au < bu = p − 1. Fie acum au = a 0 + a 1 p + . . . + a t−1 p t−1 reprezentarea
a
lui au ˆın baza p. Atunci reprezentarea p-adic˘a a lui − este
b
t
2t
a 0 + a 1 p + . . . + a t−1 p t−1 + a 0 p + . . . + a t−1 p 2t−1 + a 0 p + . . . ,
o serie periodic˘a simpl˘a cu perioada de lungime t. Este clar acum c˘a, ˆın general,
x ∈ Q admite o reprezentare p-adic˘a printr-o serie de puteri ale lui p, serie periodic˘a
n
mixt˘a. Se poate proba c˘a s , i reciproc, o serie de puteri a 0 + a 1 p + . . . + a n p + . . .
periodic˘a, cu 0 ≤ a i ≤ p − 1, reprezint˘a un num˘ar rat , ional. De remarcat analogia
cu reprezentarea zecimal˘a a numerelor rat , ionale.
Observat ,ii. 1) Din propriet˘at , ile funct , iei v p se deduce us , or c˘a definind

v p(x)
1
|x| p =
p
avem |x + y| p ≤ max(|x| p , |y| p ) s , i |x · y| p = |x| p · |y| p pentru orice x, y ∈ Q p (cu
convent , ia |x| p = 0 dac˘a x = 0). Astfel, definind

d(x, y) = |x − y| p

obt , inem d(x, y) = 0 ⇔ x = y s , i d(x, z) ≤ max (d(x, y), d(y, z)) pentru orice
x, y, z ∈ Q p . Prin urmare funct , ia d : Q p × Q p → Q p este o distant , ˘a pe Q p , iar
acesta este un spat , iu metric complet relativ la d (a se vedea [5]).
ˆ
2) In particular, dac˘a F(X) ∈ O p [X] cu grad F ≥ 1, (α n ) n≥1 este un s , ir
de ˆıntregi p-adici astfel ˆıncˆat v p (α n+1 − α n ) → ∞, adic˘a |α n+1 − α n | p → 0, iar
v p (F(α n )) → ∞ atunci, considerˆand α ∈ O p limita s , irului Cauchy (α n ) n , avem
v p (F(α)) = ∞, adic˘a F(α) = 0.
3) O alt˘a notat , ie frecvent folosit˘a pentru inelul ˆıntregilor p-adici este Z p , caz
ˆın care Z/pZ, corpul claselor de resturi modulo p, se noteaz˘a cu F p .

Lema lui Hensel

Teorema cunoscut˘a sub denumirea de Lema lui Hensel este, probabil, cea mai
important˘a proprietate algebric˘a a numerelor p-adice.