Page 40 - RMGO 3

40 Florea BADEA

2. Un elev a avut de rezolvat 10 probleme. Pentru fiecare problem˘a rezolvat˘a
corect se acord˘a 10 puncte. Pentru o problem˘a rezolvat˘a gres , it din primele 5
probleme se scad 3 puncte, iar pentru fiecare rezolvare gres , it˘a din ultimele 5
probleme se scad 2 puncte. S , tiind c˘a elevul a obt , inut 62 de puncte aflat , i:
a) Cˆate probleme a rezolvat corect.

b) Cˆate probleme a rezolvat gres , it din primele 5 s , i cˆate din ultimele 5.
Florea Badea, Scornices , ti

3. Se as , eaz˘a cifrele 1,2,3,6,7 s , i 9 ˆıntr-o ordine oarecare s , i se obt , ine num˘arul
n. Se as , eaz˘a apoi aceleas , i cifre ˆıntr-o alt˘a ordine obt , inˆandu-se num˘arul m,
m 6= n. S˘a se arate c˘a n nu se divide cu m.
Costel Anghel, Bircii

4. Se consider˘a un s , ir format din 100 de cartonas , e albe s , i 100 de cartonas , e ros , ii.
S˘a se arate c˘a, pentru orice ordine a cartonas , elor, exist˘a 100 de cartonas , e
consecutive care sunt jum˘atate albe s , i jum˘atate ros , ii.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti, Problema MGO 1

Clasa a VI-a

1. Pentru numerele naturale nenule n consider˘am numerele
a = 2016 n−1 + 2017 n−1 + 2018 n−1 s , i b = 1007 n−1 + 1008 n−1 + 1009 n−1 .
a
a) Determinat , i num˘arul n pentru care este natural.
b
b) Ar˘atat , i c˘a exist˘a o infinitate de numere naturale n ≥ 2 astfel ˆıncˆat b
este divizibil cu 1008.
Florea Badea, Scornices , ti

2 5
2. Aflat , i numerele naturale nenule x s , i y s , tiind c˘a + = 1.
x y
Florea Badea, Scornices , ti

3. Se d˘a triunghiul obtuzunghic isoscel ABC cu AB = AC. Mediatoarele
laturilor [AB] s , i [AC] intersecteaz˘a latura [BC] ˆın punctele D, respectiv E.
S , tiind c˘a CE = ED = DB, determinat , i m˘asura unghiului ^BAC.
Costel Anghel, Bircii

4. Fie ABC un triunghi echilateral. Ar˘atat , i c˘a ˆın interiorul acestui triunghi
exist˘a un unic punct S astfel ˆıncˆat ^ASB ≡ ^BSC ≡ ^CSA.

***, Problema MGO 10