Page 42 - RMGO 3

42 Florea BADEA

∗
2. a) S˘a se arate c˘a nu exist˘a numere naturale a, b, c, d s , i n ∈ N astfel ˆıncˆat
d
a + b + c + d = 2018 s , i a + n = b − n = c · n = .
n
b) S˘a se g˘aseasc˘a cel mai mare num˘ar natural n s , i numerele naturale
d
a, b, c, d cu proprietatea : a+b+c+d = 2016 s , i a+n = b−n = c·n = .
n
Florea Badea, Scornices , ti
√ 2
3. Fie tetraedrul ABCD cu AB = 5, AC = 2, AB⊥AC, CD⊥AC, tg x = ,
3
unde x = m(^(AB, CD)). Aflat , i m˘asura unghiului diedru dintre planele
(ABC) s , i (BCD).
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava

ˆ
4. Intr-o piramid˘a patrulater˘a regulat˘a distant , a de la centrul bazei la una din
fet , ele laterale este egal˘a cu 10 dm, iar m˘asura unghiului diedru dintre baz˘a
◦
s , i o fat , ˘a lateral˘a este egal˘a cu 30 . Calculat , i:
a) Aria lateral˘a s , i volumul piramidei.
b) Distant , a de la centrul bazei la ortocentrul unei fet , e laterale.
Florea Badea, Scornices , ti, adaptare dup˘a Problema MGO 17

Clasa a IX-a

x − 1 x + 2
1. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = + , unde {a}
6 6
reprezint˘a partea fract , ionar˘a a num˘arului real a.
a) Ar˘atat , i c˘a f(x + 6) = f(x), ∀x ∈ R;
x + 2
b) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia f(x + 2018) = .
6
◦
◦
◦
2. Comparat , i numerele a s , i b, unde a = cos 80 + cos 81 + . . . + cos 100 s , i
b = cos 80 + cos 81 + . . . + cos 100.
3. Demonstrat , i c˘a ˆın orice triunghi ABC are loc relat , ia cos A sin B sin C +
2
2
2
sin A + sin B + sin C
sin A cos B sin C + sin A sin B cos C = .
2
4. (Legenda s , ahului, varianta olteneasc˘a) Banul Olteniei a ˆınv˘at , at jocul de s , ah
de la logof˘atul Ilie. Ei stabilesc urm˘atoarea modalitate de recompensare:
∗
pe o tabl˘a extins˘a de s , ah, de dimensiune (2n + 1) × (2n + 1), unde n ∈ N
este fixat, se as , eaz˘a un bob de grˆau pe un p˘atr˘at , el (ales fie de ban, fie
de logof˘at), apoi cˆate dou˘a boabe de grˆau pe fiecare p˘atr˘at , el ˆınvecinat cu
acesta, apoi cˆate 4 boabe de grˆau pe fiecare p˘atr˘at , el ˆınvecinat cu cel put , in