Page 43 - RMGO 3

Prezentarea Concursului MGO, Edit , ia a VII-a 43

un p˘atr˘at , el ocupat, apoi cˆate 8 boabe de grˆau pe fiecare p˘atr˘at , el ˆınvecinat
cu cel put , in un p˘atr˘at , el ocupat, s , .a.m.d., p˘an˘a cˆand toate p˘atr˘at , ele tablei
devin ocupate. Toate aceste boabe formeaz˘a recompensa pe care banul i-o
acord˘a logof˘atului. Dou˘a p˘atr˘at , ele se consider˘a vecine dac˘a frontierele lor
au cel put , in un punct comun (deci sunt vecine pe linie, pe coloan˘a sau pe
diagonal˘a), iar un p˘atr˘at , el se consider˘a ocupat dac˘a el cont , ine cel put , in un
bob de grˆau.
a) Dac˘a logof˘atul este cel care alege p˘atr˘at , elul init , ial, care este, ˆın funct , ie
de n, recompensa maxim˘a (m˘asurat˘a ˆın num˘ar de boabe) pe care el o
poate obt , ine?
b) Dac˘a banul este cel care alege p˘atr˘at , elul init , ial, care este recompensa
minim˘a pe care el o acord˘a?
Stelian-Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

Clasa a X-a

x+1 y
m · 2 − 4 = m
1. Se consider˘a sistemul de ecuat , ii y+1 x , unde m este un
m · 2 − 4 = m
parametru real.

a) Rezolvat , i sistemul pentru m = 1;
b) Determinat , i m ∈ R pentru care sistemul are solut , ie unic˘a (x, y) ∈ R×R.
4
2. Fie mult , imea A = z ∈ C | z − 15|z| + 14 = 0 .

a) Ar˘atat , i c˘a A cont , ine exact patru numere reale;
b) Demonstrat , i inegalitatea card (A \ R) ≥ card (A ∩ R).
2
3. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = cos 2x − 2m cos x + m unde m ∈ Z.
a) Pentru m = 1, rezolvat , i ecuat , ia f(x) = 0;

b) Determinat , i m ∈ Z pentru care ecuat , ia f(x) = 0 are solut , ii.
ˆ
4. Un mus , uroi cont , ineˆın prima zi doar dou˘a furnici. In ziua a doua el va cont , ine
ˆ
de 10 ori mai multe furnici decˆat ˆın prima zi, plus ˆınc˘a dou˘a furnici. In ziua
a treia el va cont , ine de 10 ori mai multe furnici decˆat ˆın ziua precedent˘a,
plus ˆınc˘a trei furnici, s , .a.m.d.
ˆ
a) In a cˆata zi num˘arul de furnici din mus , uroi va dep˘as , i un milion?
∗
b) Fie n ∈ N . Cˆate furnici va cont , ine mus , uroiul ˆın a n-a zi?
Stelian-Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti