Page 75 - RMGO 2

Prezentarea Concursului MGO, Edit , ia a VI-a 75

(b) S˘a se arate c˘a exist˘a numerele naturale nenule m s , i n, astfel ˆıncˆat
2 2
det A(1) + A(2) + . . . + A(2017) = m + n .
2 2
(c) Determinat , i x real, pentru care det A(x ) − I 2 = det [A(x)] .
3
2
2. Se consider˘a polinomul f = X − 6X + 18X + m, unde m este un num˘ar
real s , i fie x 1 , x 2 , x 3 r˘ad˘acinile sale.
(a) Aflat , i cˆatul s , i restul ˆımp˘art , irii polinomului f la X + 1.

x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1
(b) Ar˘atat , i c˘a + + + = −1.
x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 3

1 1 1 1 1 1
(c) Aflat , i m ∈ R, s , tiind c˘a + + + = 434.
x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 3
SUBIECTUL al III-lea

2
1. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = e 2x + x + x + 1.
f(x)
(a) Calculat , i lim .
x→+∞ x 3
(b) Ar˘atat , i c˘a funct , ia f este convex˘a pe R.
(c) Ar˘atat , i c˘a f(x) ≥ 3x + 2, oricare ar fi x real.
1
∗
2. Se consider˘a funct , ia f n : R → R, f n (x) = , n ∈ N .
e nx + 1
R 1
(a) Ar˘atat , i c˘a (f n (x) + f n (−x))dx = 1.
0
√
R ln 3 x π
(b) Ar˘atat , i c˘a e f 2 (x)dx = .
0
12
R 1 2 π
(c) Ar˘atat , i c˘a f 2 (x )dx ≤ .
0 8
Premiant , ii concursului au fost:
Clasa a V-a: Premiul I: Bolborea Radu (S , c. Gimn. ,,Eugen Ionescu”, Slatina);
Premiul al II-lea: Tudorache Robert (S , c. Gimn. ,,Constantin Brˆancoveanu”,
Slatina); Premiul al III-lea: Dumitrescu Lucian (C.N. ,,Ion Minulescu”, Slatina).

Clasa a VI-a: Premiul I: Militaru Marius (C.N. ,,Ion Minulescu”, Slatina);
Premiul al II-lea: Deaconu Radu Andrei (S , c. Gimn. ,,Mihai Eminescu”, Pites , ti);
Premiul al III-lea: V˘alu Andrei (L.P.S. Slatina).

Clasa a VII-a: Premiul I: Dobre Andreea (S , c. Gimn. ,,Eugen Ionescu”, Slatina);
Premiul al II-lea: M˘argheanu Cristina (S , c. Gimn. ,,Eugen Ionescu”, Slatina);
Premiul al III-lea: S , tef˘anescu Anastasia (S , c. Gimn. ,,Eugen Ionescu”, Slatina).

Clasa a VIII-a: Premiul I: Amza Cristina (L.P.S. Slatina); Premiul al II-lea:
C˘alinescu Daniel (S , c. Gimn. ,,Eugen Ionescu”, Slatina), Gavril˘a Andrei (S , c.