Page 73 - RMGO 2

Prezentarea Concursului MGO, Edit , ia a VI-a 73

3. Rezolvat , i ecuat , iile:
√ √
(a) 3 sin x − 3 cos x = 6, x ∈ [−3π, 3π);
1
(b) arcsin x + arccos = π, x ∈ R.
3

ˆ
4. Inaintea unui meci de tenis ˆıntre juc˘atorii A s , i B, un parior a selectat
urm˘atoarele dou˘a oferte (la case de pariuri diferite):

• Varianta 1: cot˘a 1,7 pentru pariul ,,cˆas , tig˘a A” (adic˘a dac˘a pariorul
joac˘a (pl˘ates , te) o sum˘a S pentru aceast˘a ofert˘a, atunci el va ˆıncasa
1,7 · S dac˘a juc˘atorul A cˆas , tig˘a s , i nimic ˆın caz contrar);

• Varianta 2: cot˘a 2,5 pentru pariul ,,cˆas , tig˘a B”.
Pariorul dispune de o sum˘a de 1700 lei, pe care vrea s˘a o joace ˆın totalitate
pe cele dou˘a oferte.

(a) Ce sume trebuie s˘a joace pe fiecare dintre cele dou˘a variante, pentru a
avea un profit sigur, indiferent de rezultatul meciului?
(b) Dar pentru ca acest profit sigur s˘a fie maxim? S˘a se determine s , i
valoarea profitului sigur maxim.

Se cunoas , te c˘a orice meci de tenis are ˆıntotdeauna un unic cˆas , tig˘ator.
Stelian-Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

Clasa a XI-a

 
0 0 2
1. Se consider˘a matricea A =  a 1 b  , unde a, b ∈ R.
2 0 0

2
2
(a) Ar˘atat , i c˘a A(A − 4I 3 ) = A − 4I 3 ;
(b) Calculat , i suma elementelor matricei A 2017 .
ˆ
2. In reperul cartezian xOy se consider˘a punctele A(1, −2), B(0, 1), C(−2, 0) s , i
∗
D(m, n), unde m, n ∈ N .

(a) Fie d dreapta care trece prin punctul A s , i este paralel˘a cu dreapta
BC, iar h dreapta care trece prin punctul B s , i este perpendicular˘a pe
dreapta AC. Determinat , i coordonatele punctului de intersect , ie dintre
dreptele d s , i h.
(b) Ar˘atat , i c˘a punctele A, B s , i D sunt vˆarfurile unui triunghi s , i c˘a acest
triunghi nu este echilateral.