Page 71 - RMGO 2

Prezentarea Concursului MGO, Edit , ia a VI-a 71

3. Suma a patru numere naturale este 1026. S˘a se afle numerele, s , tiind c˘a
suma primelor dou˘a numere este 549, suma primelor trei este 911, iar suma
ultimelor trei este 796.

4. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f (x) = ax + b, unde a, b ∈ R.
(a) Ar˘atat , i c˘a f (1) + f (4) = f (2) + f (3) .
(b) Pentru a = 2 s , i b = −4, reprezentat , i grafic funct , ia f ˆıntr-un sistem de
axe ortogonale xOy.
2 2
5. Se consider˘a expresia E (x) = (x + 3) +2 (x − 4) (x + 3)+(x − 4) . Ar˘atat , i
2
c˘a E (x) = (2x − 1) .

SUBIECTUL al III-lea

1. O mas˘a de biliard are forma unui dreptunghi ABCD, ˆın care AB = 18 dm
s , i AD = 12 dm.

(a) Aflat , i aria dreptunghiului ABCD.
(b) Dac˘a P este mijlocul lui [BC], aflat , i perimetrul triunghiului ADP.
(c) Din punctul M, mijlocul lui [AD], este lansat˘a o bil˘a care atinge latura
AB ˆın N s , i apoi ajunge ˆın C. S , tiind c˘a ^ANM ≡ ^CNB, ar˘atat , i c˘a
◦
m(^MNC) = 90 .
2. Fie V ABCD o piramid˘a patrulater˘a regulat˘a cu baza ABCD. Latura bazei
√
este egal˘a cu 12 3 cm s , i apotema piramidei este egal˘a cu 12 cm.

(a) Calculat , i volumul piramidei.
(b) Determinat , i m˘asura unghiului f˘acut de planul unei fet , e laterale cu
planul bazei.
(c) La ce distant , ˘a de A trebuie luat un punct P ∈ (AV ) astfel ˆıncˆat aria
triunghiului PDB s˘a fie minim˘a?

SUBIECTUL al IV-lea

2
2
2
1. Fie a, b, c numere reale strict pozitive, care verific˘a relat , ia a + b + c = 3.
1 1 1 3
S˘a se demonstreze inegalitatea + + ≥ .
a + bc b + ca c + ab 2
◦ ˆ
2. Fie SABCD o piramid˘a patrulater˘a regulat˘a cu m(ASB) = 36 . In triunghiul
[
SBC, bisectoarea unghiului SBC intersecteaz˘a pe SC ˆın M.
[
(a) S˘a se arate c˘a AM⊥SC.
ˆ
(b) In planul (SAC) construim AN⊥AS, N ∈ SC. S˘a se arate c˘a triunghiul
BNS este isoscel.
Costel Anghel, Bircii