Page 69 - RMGO 2

Prezentarea Concursului MGO, Edit , ia a VI-a 69

4. Se consider˘a mult , imea de numere naturale M = {7, 8, 9, . . . , 504} . S˘a se
arate c˘a aceast˘a mult , ime se poate scrie ca reuniune de submult , imi cu cˆate
dou˘a elemente fiecare, disjuncte dou˘a cˆate dou˘a, iar suma elementelor fiec˘arei
submult , imi s˘a fie cub perfect.
Costel Anghel, Bircii

Clasa a VI-a

1. Aflat , i numerele prime a, b, c s , tiind c˘a a + b + abc = 168.
Florea Badea, Scornices , ti s , i Costel Anghel, Bircii

2. Pe o tabl˘a sunt scrise numerele: 2,5,6,7,8,9,10,13,31. Doi elevi au s , ters cˆate
patru numere de pe tabl˘a s , i au remarcat c˘a suma numerelor s , terse de primul
elev este de trei ori mai mic˘a decˆat suma numerelor s , terse de al doilea elev.
Ce num˘ar a r˘amas scris pe tabl˘a?
Costel Anghel, Bircii

3. Scrise ˆın baza 10, numerele 4 1009 s , i 25 1009 au p, respectiv q cifre. Ar˘atat , i c˘a
p + q este produsul a dou˘a numere prime.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

◦
4. Se consider˘a triunghiul isoscel ABC cu AB = AC s , i m(BAC) = 40 . Fie
\
AD ˆın˘alt , imea din A, D ∈ (BC) . Perpendiculara dus˘a din B pe bisectoarea
\
unghiului DAB o intersecteaz˘a pe aceasta ˆın M s , i dreapta AD ˆın N. Pe
semidreapta (BN consider˘am punctul P astfel ˆıncˆat CN = CP, N 6= P.
Determinat , i m˘asura unghiului CAP.
\
Costel Anghel, Bircii

Clasa a VII-a
√ √
p p
1. Exist˘a numere naturale n astfel ˆıncˆat m = n + 2010− n − 2010 ∈ N?
Justificat , i r˘aspunsul.
Florea Badea, Scornices , ti s , i Costel Anghel, Bircii

2. Se consider˘a numerele a, b, c ∈ Z. S˘a se arate c˘a A ∈ Z, unde

−1
a b c 1 1 1 3
A = + + · + + − .
b + c c + a a + b a + b b + c c + a a + b + c
Numerele a, b, c sunt alese astfel ˆıncˆat toate operat , iile s˘a aib˘a sens.
Florea Badea, Scornices , ti s , i Costel Anghel, Bircii