Page 72 - RMGO 5

˘
˘
72 Costel BALCAU
5. Se consider˘a triunghiul ABC avˆand centrul de greutate G. Dac˘a punctul
P este mijlocul segmentului [AG], determinat , i num˘arul real k astfel ˆıncˆat
−−→ −−→ −→
PB + PC = kPA.
√
2
a
6. Determinat , i x ∈ [0, 2π), s , tiind c˘ sin 2x = 2 3 cos x.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

 
1 x 2y
1. Pentru orice x, y ∈ R se consider˘ matricea A(x, y) =  1 y 2x  .
a
1 2 xy
a) Calculat , i det (A(3, 2)).

b) Determinat , i a ∈ R pentru care matricea A(a, a + 1) nu este inversabil˘a.
a
a
c) Demonstrat , i c˘ nu exist˘ m, n ∈ Z astfel ˆıncˆat det (A(m, n)) = 2021.
a
2. Pe mult , imea numerelor complexe se defines , te legea de compozit , ie asociativ˘
z 1 ∗ z 2 = z 1 z 2 − (z 1 + z 2 ) + 2.

a) Calculat , i (1 + i) ∗ (1 − 2i).
b) Determinat , i z ∈ C astfel ˆıncˆat z ∗ z = −8.
a
c) Demonstrat , i c˘ z 1 ∗ z 2 ∗ z 1 ∗ z 2 ∈ R, pentru orice z 1 , z 2 ∈ C.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

2
2
1. Se consider˘ funct , ia f : (0, +∞) → R, f(x) = x + ln x.
a
0
a) Ar˘atat , i c˘ f (1) = 2.
a
b) Determinat , i ecuat , ia asimptotei verticale la graficul funct , iei f.
c) Demonstrat , i c˘ funct , ia f are un unic punct de extrem.
a
4
a
2. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = 1 − .
2
x − 6x + 13
Z 1 (x − 3) 2
a) Calculat , i dx.
0 f(x)
Z 4 p
b) Calculat , i f(x) dx.
3
2021 2
Z n
∗
c) Pentru fiecare n ∈ N , fie I n = dx. Calculat , i lim I n .
2020 f(x) n→+∞