Page 73 - RMGO 5

Teste pentru examenul de Bacalaureat, specializarea matematic˘a-informatic˘ a 73

Testul 3

SUBIECTUL I (30 de puncte)
√ √ √ √
1. Determinat , i a ∈ R s , tiind c˘a numerele 3 2 − 2 3, a s , i 6 2 + 4 3 sunt
termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

2
2. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = −x + 2mx + m, unde m ∈ R. Determinat , i
numerele reale m pentru care graficul funct , iei f intersecteaz˘a axa Ox ˆın
a
dou˘ puncte distincte.
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 8 x+1 = 4 x+1 − 2 x−1 .

4. Calculat , i probabilitatea ca, alegˆand un num˘ar din mult , imea numerelor
a
a
a
naturale de trei cifre distincte, acesta s˘ aib˘ suma cifrelor egal˘ cu 24.
5. Fie ABCD un paralelogram. Dac˘ punctul M este mijlocul laturii AB, iar
a
−−→ −−→ −−→
punctul N verific˘a relat , ia 2NA = NB + 3ND, ar˘atat , i c˘a dreptele MN s , i
BC sunt paralele.
√
◦
6. Se consider˘a triunghiul ABC cu AB = AC = 2 3 s , i m(^B) = 30 . Calculat , i
lungimea laturii BC.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Pentru orice x, y ∈ R se consider˘a matricea M(x + iy) = xI 2 + yA, unde

i 0
A = .
1 −i
a
a) Ar˘atat , i c˘ det (M(x + iy)) = det (M(y + ix)), pentru orice x, y ∈ R.
b) Demonstrat , i c˘a dac˘a z 1 = x 1 +iy 1 s , i z 2 = x 2 +iy 2 , unde x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ∈ R,
atunci M(z 1 z 2 ) = M(z 1 ) · M(z 2 ).
n
c) Determinat , i n ∈ N pentru care (M(1 + i)) = 2 2020 · I 2 .

2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie asociativ˘
a
r 3 3
3 x y
3
3
x ∗ y = + x + y .
2
r
1
3
3
3
a
a) Ar˘atat , i c˘ x ∗ y = (x + 2)(y + 2) − 2, pentru orice x, y ∈ R.
2
b) Calculat , i simetricul lui −1 ˆın raport cu legea ..∗”.
c) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale inecuat , ia
x ∗ x ∗ x ≥ x ∗ x.