Page 25 - RMGO 3

Utilitatea unei formule ˆın rezolvarea unor probleme de calcul matriceal 25

4
2
3
deci O 2 = (A − B) = (tr (A − B)) · (A − B), de unde (A − B) = O 2 . Astfel
AB − BA = O 2 , deci AB = BA.
2 2
b) Din (A − B) = O 2 , obt , inem tr (A−B)·(A−B) = O 2 , deci (tr (A − B)) =
0 s , i astfel tr A = tr B.
2
2
Aplicat , ia 7. Fie A, B ∈ M 2 (C) cu proprietatea A + B = AB. S˘a se arate c˘a
2
(AB − BA) = O 2 .
2
Solut ,ie. Este clar c˘a det A + B 2 = det (AB) . Acum, plecˆand de la relat , ia din
enunt , , putem scrie:
2
2
2
2
2
2
A + B = AB ⇒ A + B − (AB − BA) = BA ⇒ det A + B − (AB − BA)
(∗)
2
2
= det (AB) ⇒ det A + B 2 +det (AB − BA) − tr A + B 2 · tr (AB − BA)
| {z }
=0
2 2
+ tr A + B (AB − BA) = det (AB) ⇒ det (AB − BA) = 0. Din Teorema
| {z }
=0
2
Hamilton-Cayley obt , inem (AB − BA) = O 2 .
2
Aplicat , ia 8. Fie A, B ∈ M 2 (C) asttfel ˆıncˆat (A − B) = O 2 .
2
2
a) Ar˘atat ,i c˘a det A − B 2 = (det A − det B) .
b) Demonstrat ,i c˘a det (AB − BA) = 0 dac˘a s , i numai dac˘a det A = det B.
2
ˆ
Solut ,ie. a) Intrucˆat (A − B) = O 2 , avem det(A − B) = 0. Din Teorema
Hamilton-Cayley obt , inem tr (A − B) · (A − B) = O 2 , deci tr (A − B) = 0. Fie
2
2
tr A = tr B = α. Avem A = αA − det A · I 2 s , i B = αB − det B · I 2 , prin
(∗) 2
2
2

urmare det A − B = det [α (A − B) + (det B − det A) I 2 ] =α det (A − B) +
2 2
(det A − det B) = det A − det B .
(∗)
2
b) Cum 0 = det [(A − B) (A + B)] = det A − B 2 + det (AB − BA), echiva-
lent , a din enunt , este o consecint , ˘a imediat˘a a egalit˘at , ii de la punctul a).
2
2
Aplicat , ia 9. Fie A, B ∈ M 2 (C) cu A + B + 2AB = O 2 . S˘a se arate c˘a
det A = det B.
Solut ,ie. Conform Aplicat , iei 6 pentru matricele A s , i −B rezult˘a c˘a AB = BA s , i
2
tr A = −tr B. Acum relat , ia din enunt , se poate rescrie sub forma (A + B) = O 2 ,
deci det(A + B) = 0. Fie α = tr A = −tr B. Din Teorema Hamilton-Cayley avem
2
2
2
2
A = αA − det A · I 2 s , i B = −αB − det B · I 2 , de unde 0 = det(A − B ) =
(∗)
2
det [α(A + B) + (det B − det A)I 2 ] =α det(A + B) + 2α(det B − det A)tr (A + B)
2
2
−α(det B − det A)tr (A + B) + (det A − det B) = (det A − det B) , prin urmare
det A = det B.