Page 24 - RMGO 3

˘
24 Florin STANESCU

Aplicat , ia 3. Dac˘a A, B, C ∈ M 2 (C) sunt trei matrice, atunci are loc loc relat ,ia:

det (A + B + C)+det A+det B+det C = det (A + B)+det (B + C)+det (C + A) .

Solut ,ie. Cu ajutorul formulei (∗), putem scrie: det (A + B + C) = det (A + B) +
tr (A + B) tr (C) − tr (AC + BC) + det C = det (B + C) + tr (B + C) tr (A) −
tr (BA + CA)+det A = det (C + A) +tr (C + A) tr (B)−tr (CB + AB)+det B.
Adunˆand cele trei relat , ii, avem:
3 det (A + B + C) = det (A + B) + det (B + C) + det (C + A) + det A + det B +
det C + 2 [tr A · tr B − tr (AB) + tr B · tr C − tr (BC) + tr C · tr A − tr (CA)]
(∗)
= det (A + B)+det (B + C)+det (C + A)+det A+det B+det C+2 det (A + B)−

det A − det B + det (B + C) − det B − det C + det (C + A) − det C − det A , de
unde concluzia este imediat˘a.
2
(tr (A)) − tr A 2
Aplicat , ia 4. Dac˘a A ∈ M 2 (C) ,atunci det A = .
2
Solut ,ie. Luˆand x = 1 ˆın (∗) s , i ˆınlocuind pe B cu A, concluzia este imediat˘a.

Aplicat , ia 5. Fie A, B ∈ M 2 (C) . Ar˘atat ,i c˘a:

2
2
det [(A − B) (A + B)] = det A − B 2 ⇔ (AB − BA) = O 2 .
Solut ,ie. Din Teorema Hamilton-Cayley, cum tr (AB) = tr (BA), rezult˘a c˘a
2
(AB − BA) = − det (AB − BA) · I 2 . Cu ajutorul formulei (∗) putem scrie:
2

2
2
det [(A − B) (A + B)] = det A − B + AB − BA = det A − B 2 +
2

2
tr A − B 2 · tr (AB − BA) − tr A − B 2 (AB − BA) + det (AB − BA).
| {z }
| {z }
=0 =0
2
Astfel, avem: det [(A − B) (A + B)] = det A − B 2 ⇔ det (AB − BA) = 0 ⇔
2
(AB − BA) = O 2 .
2
2
Aplicat , ia 6. Fie A, B ∈ M 2 (C) astfel ˆıncˆat A + B = 2AB.
a) Ar˘atat ,i c˘a AB = BA.
b) Ar˘atat ,i c˘a tr A = tr B.
2
Solut ,ie. a) Relat , ia din enunt , poate fi rescris˘a c˘a (A − B) = AB − BA, deci avem:
(∗)
2
2
2
0 = det (A − B) − (AB − BA) = det (A − B) +det (AB − BA)−tr (A − B) ·
h i
2
tr (AB − BA) + tr (AB − BA) (A − B) 2 = det (A − B) +det (AB − BA). Re-
| {z }
=0 | {z }
=0
2
zult˘a c˘a det (A − B) = det (AB − BA) = 0, deci det (A − B) = 0. Din Teorema
2
2
Hamilton-Cayley obt , inem (AB − BA) = O 2 s , i (A − B) = tr (A − B) · (A − B),