Page 23 - RMGO 3

Utilitatea unei formule ˆın rezolvarea unor

probleme de calcul matriceal

˘
Florin STANESCU 1

ˆ In cele ce urmeaz˘a ne propunem prezentarea unei formule de calcul matriceal
s , i a unor aplicat , ii ce evident , iaz˘a utilitatea acestei formule.

Propozit , ia 1. Dac˘a A, B ∈ M 2 (C) sunt dou˘a matrice s , i x ∈ C, atunci avem
egalitatea:

2
det (A + xB) = det A + (tr A · tr B − tr (AB)) · x + det B · x . (∗)

a b e f
Demonstrat¸ie. Luˆand A = s , i B = , obt , inem:
c d g h

a + xe b + xf 2
det (A + xB) = = x (eh − gf) + x (ed + ah − bg − cf)+ad−
c + xg d + xh
2
bc = x det B+ x (tr A · tr B − tr (AB)) + det A.
Aplicat , ia 1. Dac˘a A, B ∈ M 2 (C) sunt dou˘a matrice, atunci propozit ,iile urm˘atoare
sunt echivalente:

p 1 : tr (AB) = tr (A) · tr (B) ;
p 2 : det (A + B) = det A + det B;
p 3 : det (A − B) = det (A + B) .

Solut ,ie. Luˆand ˆın (∗) x = 1, respectiv x = −1, obt , inem c˘a det (A + B) − det A −
det B =tr A·tr B−tr (AB) s , i det (A − B)−det A−det B = −tr A·tr B+tr (AB),
ceea ce arat˘a c˘a p 1 ⇔ p 2 ⇔ p 3 .

Aplicat , ia 2. Dac˘a A, B ∈ M 2 (C) sunt dou˘a matrice, atunci are loc loc relat ,ia:

det (A + B) + det (A − B) = 2 (det A + det B) .

Solut ,ie. Luˆand x = 1, respectiv x = −1 ˆın relat , ia (∗) s , i adunˆand cele dou˘a relat , ii
concluzia este imediat˘a.
1
Profesor, S , coala Gimnazial˘a ,,S , erban Cioculescu”, G˘aes , ti, florin.florinstanescu@yahoo.com

23