Page 57 - RMGO 2

Prezentarea Concursului MGO, Edit , ia a V-a 57

(b) Calculat , i volumul beciului.
(c) Se ˆımparte beciul ˆın patru zone a, b, c, d de volume direct proport , ionale
cu numerele 2, 5, 6 s , i respectiv 7. Se pot depozita ˆın zona b 24 de saci
cu grˆau, s , tiind c˘a fiecare sac are 80 de decimetri cubi?
Florea Badea, Scornices , ti s , i Costel Anghel, Bircii
SUBIECTUL al IV-lea

1. Fie VABC un tetraedru echifacial (muchiile opuse sunt congruente dou˘a cˆate
dou˘a). Fie (AM bisectoarea unghiului V AB, M ∈ (V B), (BN bisectoarea
\
unghiului V BC, N ∈ (V C) s , i (CP bisectoarea unghiului V CA, P ∈ (V A).
\
\
S˘a se arate c˘a (MNP) k (ABC) ⇔ V ABC este tetraedru regulat.
Costel Anghel, Bircii
2. Fie a, b, c ∈ (0, ∞) . S˘a se demonstreze inegalitatea

a (a + b) 2 b (b + c) 2 c (c + a) 2 2 2 2
+ + ≥ 2 a + b + c .
b + c c + a a + b
Costel Anghel, Bircii

Clasa a IX-a

1. Rezolvat , i ecuat , iile:
(a) x · [x] = 1 + {x};
3x − 1
(b) [4x] − [2x] = .
2
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
2. Pe o tabl˘a sunt scrise numerele 14, 5 s , i 2016. Se repet˘a urm˘atoarea operat , ie:
se aleg dou˘a numere de pe tabl˘a s , i se adaug˘a pe tabl˘a suma s , i diferent , a lor.

(a) Ce numere vor fi scrise pe tabl˘a dup˘a prima operat , ie, dac˘a se aleg 2016
s , i 5?
(b) Este posibil ca, la un moment dat, suma numerelor scrise pe tabl˘a s˘a
2
fie 2016 ? Justificat , i raspunsul.
Costel Anghel, Bircii
3. Rezolvat , i ˆın N ecuat , iile:
√
(a) 1 + 3 + 5 + . . . + x = 3 2016 ;
√
(b) 1 + 3 + 5 + . . . + x = 3 x−1 .
Gheorghe Boroica, Baia Mare, Supliment G.M.-B nr. 9/2015

4. Fie ABCD un patrulater convex s , i M, N, P puncte pe segmentele (AB),
MB BN DP
(BC), respectiv (CD), astfel ˆıncˆat = = . Fie R s , i S mijloacele
MA NC PC
segmentelor [AN], respectiv [MP]. Ar˘atat , i c˘a RS||AD.
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava