Page 59 - RMGO 2

Prezentarea Concursului MGO, Edit , ia a V-a 59

2
∗
(c) Demonstrat , i c˘a |h(x)| ≤ , ∀x ∈ R .
|x|
(d) Calculat , i lim h(x) s , i lim h(x).
x→∞ x→−∞
h(x)
(e) Calculat , i lim .
x→0 g(x)
x>0
* * *
 √
2
x + x, x ≤ −1

2
4. (a) Fie funct , ia f : R → R, f(x) = ax + a . Aflat , i a ∈ R
, x > −1

x + 1
astfel ˆıncˆat asimptotele oblice ale graficului funct , iei f s˘a fie paralele.
x
(b) Fie f : R → R o funct , ie astfel ˆıncˆat | cos x − e + f(x)| ≤ x 2016 , pentru
orice x ∈ R. Demonstrat , i c˘a f(0) = 0 s , i c˘a f este continu˘a ˆın 0.
* * *
Clasa a XII-a

SUBIECTUL I

1. Aflat , i rat , ia progresiei aritmetice (a n ) n≥1 , dac˘a a 200 = 2016 s , i a 100 = 1516.

2. Calculat , i aria triunghiului determinat de punctele de intersect , ie ale graficului
2
funct , iei f : R → R, f(x) = x − 4x + 3 cu axele Ox s , i Oy.
√ √ √
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia x − 2 · x + 2 = 5.

4. Calculat , i probabilitatea ca alegˆand una dintre submult , imile cu 3 elemente
ale mult , imii {1, 2, 3, . . . , 9}, aceasta s˘a fie format˘a doar din numere prime.

5. Calculat , i distant , a dintre dreptele de ecuat , ii y = 2x + 4 s , i y = 2x − 3.

π 3

6. Calculat , i cos x, s , tiind c˘a x ∈ , π s , i sin x = .
2 5
SUBIECTUL al II-lea

 
x 0 2
1. Se d˘a matricea A(x) =  1 x 6  , x ∈ R.
0 0 x

(a) Aflat , i x ∈ R pentru care det A(x) = 1.
∗
(b) Aflat , i n ∈ N pentru care det(A(1) + A(2) + . . . + A(n)) = det A(2016).
(c) Calculat , i (A(1)) −2 .