Page 34 - RMGO 5

34 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior
√
!
√ 3 + 1
Cazul 2. u ∈ 2, √ . Rezolvˆand sistemul
2

r

2
2
2
 u +1 u +1
2
 u +1  2 · + 4 − 18
 2α + β = 2 ·  u u

 u  α =

2 2
2
2
2α + β = 4 u +1 − 12 avem 3 r
u 2
2
2
  u +1 u +1
  2 · − 2 · 4 − 18
α > β > 0  u u


β =

3
iar inegalitatea de demonstrat devine
√
√ 2 + 2 √
6 · · (abc + abd + acd + bcd) 4 + 2
2
2
2α + β + 2 p ≥ · α (α + 2β) .
α (α + 2β) 3
2
Conform Lemei 2 avem min (abc + abd + acd + bcd) = α β, atins ˆın (α, α, β, 0) s , i
√
√ 2 + 2
2
6 · · α β
2
2
permut˘arile. Deci este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a 2α + β + p 2 ≥
α (α + 2β)
√
4 + 2 β
·α (α + 2β) . Notˆand = x avem x ∈ (0, 1) s , i inegalitatea anterioar˘ devine
a
3 √ α
√ 2 + 2
6 · · x 4 + √ 2 √
2
x + 2 + √ 2 ≥ · (2x + 1). Notˆand acum 2x + 1 = y avem
2x + 1 3 √
√ 2 + 2
2
2 2 6 · · y − 1
y − 1
√ 2
y ∈ 1, 3 , iar inegalitatea devine + 2 + ≥
√ 2 2y
4 + 2 √ √ √ √ √
2
2
3
2
· y , adic˘a y − 3 3y + 6 3y − 4 2 − 5 y − 2 6 + 2 3 ≥ 0,
3 √ √
2
3
inegalitate adev˘arat˘a deoarece y > 1 implic˘a 3y > 4 2 − 5 y s , i 6 3y >
√ √
2 6 + 2 3. Mai mult, egalitatea nu poate avea loc.
√ 2
2
3 + 1 u + 1
Cazul 3. u ≥ √ . Este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a 4 − 12 ≥
2 u
2 2
u + 1
√ √
2 4 + 2 , inegalitate adev˘arat˘a deoarece 4 − 12 ≥ 12 > 2 4 + 2 .
u
Mai mult, egalitatea nu poate avea loc nici ˆın acest caz.
Astfel demonstrat , ia inegalit˘t , ii din enunt , este ˆıncheiat˘a, iar egalitatea are loc
a
√ √ √
pentru (1, 1, 1, 1) sau 2, 2, 2, 0 s , i permut˘arile sale.